2016年高考数学备考：专项练习及答案(3)

第(1)问利用列举法将基本事件罗列出来，再结合题意求解.

第(2)问将a，b满足的不等式转化为可行域——平面区域问题，从而利用几何概型的概率公式求解.

解　设事件A为“方程9x2+6ax-b2+4=0有两个不相等的实数根”;事件B为“方程9x2+6ax-b2+4=0有实数根”.

(1)由题意，知基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.

由Δ=36a2-36(-b2+4)=36a2+36b2-36×4>0，得a2+b2>4.

事件A要求a，b满足条件a2+b2>4，可知包含6个基本事件：(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，

所以方程有两个不相同实根的概率P(A)==.

(2)由题意，方程有实根的区域为图中阴影部分，

故所求概率为：

P(B)==1-.

总结提高　(1)求解古典概型问题的三个步骤

①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求事件A.

②分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件的个数m.

③利用古典概型的概率公式P(A)=求出事件A的概率.若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.

(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.

(3)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题.在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域.几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关.

1.从标有1,2,3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是________.

答案

2.已知实数a，b满足x1，x2是关于x的方程x2-2x+b-a+3=0的两个实根，则不等式00，f(1)<0，即建立平面直角坐标系如图.

满足题意的区域为图中阴影部分，故所求概率P==.

3.(2014·陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________.

答案

解析　取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为=.

4.有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________.

答案

解析　设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则P1===，故点P到点O的距离大于1的概率P=1-=.

5.在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于的概率是________.

答案

解析

如图，M，N分别为AB，CD中点，

当点P位于阴影部分时，

△PBC的面积小于，根据几何概型，其概率为P==.

6.已知点A在坐标原点，点B在直线y=1上，点C(3,4)，若AB≤，则△ABC的面积大于5的概率是________.

答案

解析　设B(x,1)，根据题意知点D(，1)，

若△ABC的面积小于或等于5，则×DB×4≤5，即DB≤，

所以点B的横坐标x∈[-，]，而AB≤，

所以点B的横坐标x∈[-3,3]，所以△ABC的面积小于或等于5的概率为

P==，

所以△ABC的面积大于5的概率是1-P=.

7.(2013·湖北)在区间[-2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=________.

答案　3

解析　由|x|≤m，得-m≤x≤m.

当m≤2时，由题意得=，解得m=2.5，矛盾，舍去.

当2n.

如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m=n恰好将矩形平分，

∴所求的概率为P=.

9.(2013·江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为______.

答案

解析　P==.

10.平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________.

答案

解析　如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为.

11.已知向量a=(-2,1)，b=(x，y).

(1)若x、y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b=-1的概率;

(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率.

解　(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6=36(个);

由a·b=-1有-2x+y=-1，

所以满足a·b=-1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个;

故满足a·b=-1的概率为=.

(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω={(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6};

满足a·b<0的基本事件的结果为

A={(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0};

画出图形如图，

矩形的面积为S矩形=25，

阴影部分的面积为S阴影=25-×2×4=21，

故满足a·b<0的概率为.

12.某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物成绩获得等级A和获得等级不是A的机会相等，且三个学科成绩获得等级A的事件分别记为W1，W2，W3，获得等级不是A的事件分别记为，，.

(1)试列举该同学在这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果(如三科成绩均为A记为(W1，W2，W3));

(2)求该同学参加这次水平测试获得两个A的概率;

(3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由.

解　(1)该同学在这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的可能结果有8种，分别为(W1，W2，W3)，(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，(，，W3)，(，W2，)，(W1，，)，(，，).

(2)由(1)，知有两个A的情况为(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，共3种，从而所求概率为P=.

(3)方法一　该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩不全为A的事件概率大于85%.

理由如下：该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩不全为A的事件有如下7种情况：(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，(，，W3)，(，W2，)，(W1，，)，(，，，)，

故物理、化学、生物成绩不全为A的概率是P1==0.875>85%.

方法二　该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩至少一个为A的事件概率大于85%.

理由如下：该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩全不为A的事件有1种情况，即(，，)，其概率为，则物理、化学、生物成绩至少一个为A的概率为P2=1-=>85%.