2016年高考数学备考：专项练习及答案(13)

9.解:设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),

则a2+b2=()2=7.

由

消去y,得=1.

整理,得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0.(*)

由直线y=x-1与双曲线有两个交点知a≠b,

设M(x1,y1),N(x2,y2),

则x1和x2为方程(*)的根,

于是x1+x2=.

由已知得=-,

则=-,即5a2=2b2.

由得

故所求双曲线方程为=1.

10.解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,

得|AF1|=3,|F1B|=1.

因为ABF2的周长为16,

所以由椭圆定义可得4a=16,

|AF1|+|AF2|=2a=8.

故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.

(2)设|F1B|=k,则k>0,

且|AF1|=3k,|AB|=4k.

由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.

在ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cosAF2B,

即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)·(2a-k),

化简可得(a+k)(a-3k)=0,

而a+k>0,故a=3k.

于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.

因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1AF2A,

故AF1F2为等腰直角三角形.

从而c=a,所以椭圆E的离心率e=.

11.B　解析:将x=-c代入双曲线方程得A.

由ABE是直角三角形,得=a+c,

即a2+ac=b2=c2-a2,

整理得c2-ac-2a2=0.

∴e2-e-2=0,

解得e=2(e=-1舍去).

12.A　解析:可解方程t2cosθ+tsinθ=0,

得两根0,-.

不妨设a=0,b=-,

则A(0,0),B,

可求得直线方程y=-x,

因为双曲线渐近线方程为y=±x,

故过A,B的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选A.

13.D　解析:因为椭圆的离心率为,

所以e=,c2=a2,a2=a2-b2.

所以b2=a2,即a2=4b2.

因为双曲线的渐近线为y=±x,代入椭圆得=1

即=1,

所以x2=b2,x=±b,y2=b2,y=±b.

则在第一象限的交点坐标为.

所以四边形的面积为4×b×b=b2=16.解得b2=5,

故椭圆方程为=1.