2016年高考数学备考：专项练习及答案(14)

于是

因为=(x1-1,y1),

=(x2-1,y2),

所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.

又<0,

所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0,③

因为x=,所以不等式可变形为

+y1y2-+1<0,

即+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.

将代入整理得m2-6m+1<4t2.

因为对任意实数t,4t2的最小值为0

所以不等式对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,

即3-20),则FD的中点为.

因为|FA|=|FD|,

由抛物线的定义知3+,

解得t=3+p或t=-3(舍去).

由=3,解得p=2.

所以抛物线C的方程为y2=4x.

(2)由(1)知F(1,0).

设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0),

因为|FA|=|FD|,

则|xD-1|=x0+1.

由xD>0得xD=x0+2,

故D(x0+2,0).

故直线AB的斜率kAB=-.

因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-x+b,

代入抛物线方程得y2+y-=0,

由题意Δ==0,

得b=-.

设E(xE,yE),

则yE=-,xE=.

当≠4时,kAE==-,

可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),

由=4x0,整理可得y=(x-1),

直线AE恒过点F(1,0).

当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0).

所以直线AE过定点F(1,0).

由知直线AE过焦点F(1,0),

所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.

设直线AE的方程为x=my+1,

因为点A(x0,y0)在直线AE上,

故m=.

设B(x1,y1),

直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由于y0≠0,

可得x=-y+2+x0,

代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.

所以y0+y1=-,

可求得y1=-y0-,

x1=+x0+4.

所以点B到直线AE的距离为

d=

==4.

则ABE的面积S=×4≥16,

当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.

所以ABE的面积的最小值为16.