2016高考数学提分专练及答案:数列交汇的综合问题

6.等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知(a8+1)3+2 013(a8+1)=1，(a2 006+1)3+2 013(a2 006+1)=-1，则下列结论正确的是(　　)

A.d<0，S2 013=2 013 B.d>0，S2 013=2 013

C.d<0，S2 013=-2 013 D.d>0，S2 013=-2 013

答案：C　命题立意：本题考查函数的性质——单调性与奇偶性、等差数列的性质与前n项和公式，难度中等.

解题思路：记f(x)=x3+2 013x，则函数f(x)是在R上的奇函数与增函数;依题意有f(a8+1)=-f(a2 006+1)=1>f(0)=0，即f(a8+1)=f[-(a2 006+1)]=1，a8+1=-(a2 006+1)，a8+1>0>a2 006+1即a8>a2 006，d=<0;a8+a2 006=-2，S2 013===-2 013，故选C.

二、填空题

7.在等差数列{an}中，a2=5，a1+a4=12，则an=________;设bn=(nN*)，则数列{bn}的前n项和Sn=________.

答案：2n+1　　命题立意：本题考查等差数列的通项公式与裂项相消法，难度中等.

解题思路：设等差数列{an}的公差为d，则有a2+a3=5+a3=12，a3=7，d=a3-a2=2，an=a2+(n-2)d=2n+1，bn==，因此数列{bn}的前n项和Sn=×

==.

8.设Sn为数列{an}的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{cn}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d=________.

答案：4　解题思路：由题意可知，数列{cn}的前n项和为Sn=，前2n项和为S2n=，所以==2+=2+，所以当d=4时，=4.

9.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f=f(x)，f(-2)=-3，数列{an}满足a1=-1，且Sn=2an+n(其中Sn为{an}的前n项和)，则f(a5)+f(a6)=______.

答案：3　解题思路：因为Sn=2an+n，则Sn-1=2an-1+n-1，

两式相减得an=2an-1-1，通过拼凑整理得an-1=2(an-1-1)，所以{an-1}是等比数列，则an-1=-2n，因此an=1-2n，所以a5=-31，a6=-63.

由f=f(x)且函数f(x)是奇函数，用-x代替x得到f=f(-x)=-f(x)，用+x代替x得到f(3+x)=f(x)，所以函数f(x)为周期为3，

则f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=f(2)+0=-f(-2)=3.

10.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成递减的等差数列.若A=2C，则的值为________.

答案：　命题立意：本题主要考查等差数列、正弦定理、余弦定理与三角函数基本公式.解题思路是依据题意得出a，b，c之间的关系，再结合正弦定理、余弦定理及A=2C，从而得出a，c之间的关系.

解题思路：依题意知b=，===2cos C=2×，即====，所以a2=c，即(2a-3c)(a-c)=0，又由a>c，因此有2a=3c，故=.

三、解答题

11.已知函数f(x)=x2+bx为偶函数，数列{an}满足an+1=2f(an-1)+1，且a1=3，an>1.

(1)设bn=log2(an-1)，求证：数列{bn+1}为等比数列;

(2)设cn=nbn，求数列{cn}的前n项和Sn.

命题立意：本题主要考查函数的性质，数列的通项公式和前n项和公式等知识.解题时，首先根据二次函数的奇偶性求出b值，确定数列通项的递推关系式，然后由等比数列的定义证明数列{bn+1}为等比数列，这样就求出数列{bn}的通项公式，进一步就会求出数列{cn}的通项公式，从而确定数列{cn}的前n项和Sn的计算方法.

解析：(1)证明： 函数f(x)=x2+bx为偶函数，

b=0， f(x)=x2，

an+1=2f(an-1)+1=2(an-1)2+1，

an+1-1=2(an-1)2.

又a1=3，an>1，bn=log2(an-1)，

b1=log2(a1-1)=1，

====2，

数列{bn+1}是首项为2，公比为2的等比数列.

(2)由(1)，得bn+1=2n， bn=2n-1，

cn=nbn=n2n-n.

设An=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，

则2An=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，

-An=2+22+23+…+2n-n×2n+1

=-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2，

An=(n-1)2n+1+2.

设Bn=1+2+3+4+…+n，则Bn=，

Sn=An-Bn=(n-1)2n+1+2-.