2016高考数学提分专练及答案:数列交汇的综合问题

12.函数f(x)对任意xR都有f(x)+f(1-x)=1.

(1)求f的值;

(2)数列{an}满足：an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，求an;

(3)令bn=，Tn=b+b+…+b，Sn=8-，试比较Tn与Sn的大小.

解析：(1)令x=，

则有f+f=f+f=1.

f=.

(2)令x=，得f+f=1，

即f+f=1.

an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，

an=f(1)+f+f+…+f+f(0).

两式相加，得

2an=[f(0)+f(1)]++…+[f(1)+f(0)]=n+1，

an=，nN*.

(3)bn==，

当n=1时，Tn=Sn;

当n≥2时，

Tn=b+b+…+b

=4

<4

=4

=4=8-=Sn.

综上，Tn≤Sn.

13.某产品在不做广告宣传且每千克获得a元的前提下，可卖出b千克.若做广告宣传，广告费为n(nN*)千元时比广告费为(n-1)千元时多卖出千克.

(1)当广告费分别为1千元和2千元时，用b表示销售量s;

(2)试写出销售量s与n的函数关系式;

(3)当a=50，b=200时，要使厂家获利最大，销售量s和广告费n分别应为多少?

解析：(1)当广告费为1千元时，销售量s=b+=.

当广告费为2千元时，销售量s=b++=.

(2)设Sn(nN)表示广告费为n千元时的销售量，

由题意得，s1-s0=，

s2-s1=，

……

sn-sn-1=.

以上n个等式相加得，

sn-s0=+++…+.

即s=sn=b++++…+.

==b.

(3)当a=50，b=200时，设获利为Tn，

则有Tn=sa-1 000n=10 000×-1 000n=1 000×，

设bn=20--n，

则bn+1-bn=20--n-1-20++n=-1.

当n≤2时，bn+1-bn>0;

当n≥3时，bn+1-bn<0.

所以当n=3时，bn取得最大值，即Tn取得最大值，此时s=375，即该厂家获利最大时，销售量和广告费分别为375千克和3千元.