2016年高考数学备考：专项练习及答案(4)

题型一　定值、定点问题

例1　已知椭圆C：+=1经过点(0，)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线l交y轴于点M，且=λ，=μ，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值?若是，求出λ+μ的值;否则，请说明理由.

破题切入点　(1)待定系数法.

(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式=λ，=μ.把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ+μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值.

解　(1)依题意得b=，e==，a2=b2+c2，

∴a=2，c=1，∴椭圆C的方程为+=1.

(2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，

又F坐标为(1,0)，设直线l方程为

y=k(x-1)，求得l与y轴交于M(0，-k)，

设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

又由=λ，∴(x1，y1+k)=λ(1-x1，-y1)，

∴λ=，同理μ=，

∴λ+μ=+=

所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ+μ的值为定值-.

题型二　定直线问题

例2　在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A，B两点.

(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值;

(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在，求出l的方程;若不存在，请说明理由.

破题切入点　假设符合条件的直线存在，求出弦长，利用变量的系数恒为零求解.

解　方法一　(1)依题意，点N的坐标为N(0，-p)，

可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线AB的方程为y=kx+p，

与x2=2py联立得

消去y得x2-2pkx-2p2=0.

由根与系数的关系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2.

于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2|

=p|x1-x2|=p

=p=2p2，

∴当k=0时，(S△ABN)min=2p2.